Con el estudio del tema potencia-ser personal comenzamos una nueva sección en este blog. Incluimos ahora un análisis de los absolutos desde las matemáticas. El carácter clarificador y pedagógico de este estudio, realizado por Margarita Torres, profesora de matemáticas y lectora del LU, hace muy aconsejable su lectura.
LOS
NÚMEROS: UNA APROXIMACIÓN AL
ENTENDIMIENTO DE LOS ABSOLUTOS.
Por Margarita María Niño
Torres
En las
carreras de matemáticas se enseña siempre algo sobre la llamada "Hipótesis
del continuo", que fue formulada por Cantor en el siglo 19; el estudio
de la misma para la mayor parte de los estudiantes promedio de tales carreras
es algo como un dogma que se aprende pero que no se puede pensar. Los
estudiantes generalmente comprenden a grandes rasgos el enunciado y saben
repetirlo, pero cuando intentan acercarse a los infinitos involucrados...
Enuncio a
continuación la problemática (al menos la mía), pero antes de hacerlo y entrar
en una descripción simple de esta hipótesis, me permito unas explicaciones
básicas:
Primero:
Llamamos 'cardinal ' de un conjunto al número de elementos de ese
conjunto.
Segundo: El
invento de los números cardinales surgió naturalmente en el desarrollo de la
civilización porque el hombre primitivo tuvo necesidad de hacer algún tipo de
conteo de los grupos de seres o de cosas que le eran importantes. Por eso se
llama ordinariamente 'naturales' a estos números y comienzan en el uno
(1), porque eso de contar elementos en donde no hay elementos, lo que da
lugar al cero, fue muy posterior.
(Como nota
curiosa, fue un poeta árabe en el siglo X de nuestra era, Omar Kayyam, que
también fue matemático, quien introdujo el Cero como un número, dentro del
sistema ya muy avanzado de los números reales.)
Entonces,
examinemos el conjunto de los números naturales como si fuéramos unos ojos
invisibles que recorren lo que pudo ser el desarrollo del pensamiento numérico
de nuestros antepasados de las primeras generaciones humanas:
a) Dar nombre al hecho repetido de tener una cosa en la
mano o a la vista. Llamar por su nuevo nombre a eso: decir un árbol, una
cabra, un niño... el número uno.
b) Dar nombre al hecho de repetir dos veces la palabra que
designa una cosa, cuando se van señalando dos cosas. ... el número dos.
Así continuó
la humanidad, construyendo nombres y luego símbolos para los cardinales más
usuales, que suponemos de forma completamente arbitraria (lo que estoy
diciendo), pudo llegar en el primer milenio... hasta el diez, en donde
algunos pueblos decidieron que las dos manos serían el símbolo perfecto para
tal número.
Al fin,
después de esas oscuridades de la historia y la antropología, el hombre se hizo
capaz de contar cualquier agrupación de seres o cosas. Entonces tenemos
conformado el conjunto de los números naturales. En los últimos siglos, muy
sofisticados, hemos establecido una notación rigurosa para describir cualquier
conjunto, y así, podemos arrancar esta charla que quiere llegar a un umbral
lejano de los Absolutos, de la descripción siguiente:
Conjunto
de los números naturales = {1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . . }
Sabemos que los elementos
que forman este conjunto son cardinales. Esto significa que cada uno de ellos
cuenta o describe cuántos elementos tiene un conjunto de cosas; entonces, surge la pregunta: ¿cuántos
elementos tiene el conjunto de los números naturales? y la respuesta se
torna difícil. Rápidamente llegamos a que puede ser muy grande ese número, porque siempre que
llegamos hasta uno de ellos, podemos añadir el que sigue, y no hay cuándo
acabar de contarlos.
Y aquí el
hombre, este pequeñísimo ser personal de este mundo también pequeño, inventó la
palabra "Infinito",
tremendamente emparentada con el asombro, con la visión de lo creado, con la
imaginación de la obra de un Creador que tiene que haber sido infinito con
anterioridad a la creación. Así la mente del hombre se puso en el camino de
conceptualizar ideas que van más allá de lo concreto. Ya tenemos, pues, un
infinito por donde empezar a caminar lentamente hacia nuestro objetivo de
rasguñar de alguna manera los conceptos que describen al Dios Eterno.
Veamos las
cosas que se pueden hacer con este infinito de los números naturales, aunque
antes, permítaseme otra digresión; es importante tener los términos frescos:
Decimos que
el conjunto de los dedos de una mano tiene el mismo cardinal que el conjunto de
las vocales de nuestro idioma, porque podemos establecer una relación en los
dos sentidos: a cada dedo asignamos una vocal y a cada vocal un dedo, sin que
sobren ni falten ni dedos ni vocales. A esto lo llamamos “correspondencia
biunívoca”. Y siempre que entre dos conjuntos se puede establecer una
correspondencia biunívoca, esos dos conjuntos tienen el mismo número de
elementos, o sea el mismo cardinal. En nuestro ejemplo: el número CINCO es el
cardinal del conjunto de los dedos de una mano y también es el cardinal del conjunto
de las letras vocales del idioma español.
Si partimos
el conjunto de las vocales entre tú y yo y tú eliges las llenas y yo las
débiles, ¿a quién le tocan más vocales? ... pues a quien se llevó las llenas
que son {a,e,o}. En el de las débiles solamente quedaron {i,u}. Así al partir
el conjunto, se formaron dos conjuntos que tienen menos elementos que el
inicial y al sumar sus cardinales, vuelve a darnos el cardinal del conjunto
inicial: 3+2=5.
Volvamos a
nuestro infinito: Imaginemos que nos vamos a repartir los elementos del
conjunto de los naturales entre tú y yo. Tú dices: “Me quedo con todos los números impares de ese conjunto. Yo digo,
pues me quedo con los números pares.”
¿Quién tiene ahora más números? Cuando intentamos escribir los elementos de nuestros
conjuntos, tenemos:
Impares: {1,
3, 5, 7, 9 ,
. . . . }
Pares: {2, 4,
6, 8, 10, . . . . }
Naturales {1,
2, 3, 4, 5 ,
. . . . }
Y resulta que
ambos son infinitos, y que cada uno tiene tantos elementos como el conjunto de
los naturales: lo vemos al escribir en orden, uno debajo del otro los tres
conjuntos: rápidamente encontramos los
números que se corresponden y así, por
mucho que nos alarguemos en uno de ellos, siempre se obtendrán los números
correspondientes en los otros dos. De esta forma vemos claramente que las
reglas del infinito son diferentes: el total no siempre es mayor que la
parte; la parte puede ser igual en número de elementos, al total. De
un conjunto infinito inicial se puede extraer un conjunto infinito de tal forma
que el conjunto inicial de donde se extrajo esa parte sigue siendo infinito y
ambos, el que se extrajo y el que queda, son cada uno igualmente tan infinitos
como el conjunto inicial.
Ahora hagamos
un recuento de lo que tenemos y continuemos nuestros pasos en busca de la
comprensión:
1. Empezamos
por los números naturales que son los números que inventó el hombre para
contar: {1, 2, 3, 4, 5,...} y es fácil ver que el cardinal (el número de
elementos) de este conjunto es infinito, aunque crece solo para un lado, pues
por grande que sea el último que hayamos escrito, siempre habrá un natural
siguiente.
Sabemos
también que si los elementos de dos conjuntos se pueden poner en
correspondencia biunívoca, esto significa que a cada elemento de cualquiera de
esos conjuntos le corresponde uno y solo un elemento del otro conjunto,
entonces los dos conjuntos tienen el mismo número de elementos.
2. Pasemos al
conjunto de los enteros, {...-5,-4,-3,-2,-1, 0, 1,2,3,4,5,...} que, además de
los números que se incluyen en los naturales, tiene el Cero y los negativos u
opuestos de los naturales; entonces, si aplicamos a este nuevo infinito lo que
pasa con conjuntos finitos, diríamos que este infinito es el doble más 1 que el
de los naturales; por nuestra experiencia anterior sospechamos que NO ES ASÍ:
Resulta que se pueden poner en correspondencia biunívoca perfecta los elementos
de los dos conjuntos, (es fácil establecer esa correspondencia, puedes
intentarlo cuando quieras practicar tu conocimiento de conjuntos...) lo que nos
lleva a la conclusión siguiente: el cardinal del conjunto de los números
enteros es el mismo cardinal del conjunto de los números naturales. Cantor llamó a este cardinal el Aleph
Cero.
3. Por otra
parte, el hombre conoció la línea recta y llegó a ser capaz de trazarla: sin
duda como resultado de sus esfuerzos por levantar un techo, por tender un
puente, por tantos y tantos quehaceres que exigen un trazo recto. Hoy podemos
usar aquí la recta para poner sobre ella los números enteros: es la llamada
recta numérica:
,
, , -5
-4 -3 -2
-1 0 1
2 3 4
5 , ,
,
4. Seguimos
con el conjunto de los números RACIONALES, que incluye todas las fracciones,
además de los enteros, y resulta que también se puede poner en correspondencia
biunívoca con el de los naturales. (Un
número pertenece al conjunto de los Racionales si y solamente si, ese número se
puede expresar de manera exacta como una fracción de dos enteros: quiere decir
si se puede escribir como quebrado positivo o negativo. Es importante ver que
cualquier número entero se puede expresar como una fracción: basta poner como
denominador el número 1)
Aquí se
complica mucho todo, porque los racionales tienen una nueva propiedad llamada densidad
que los hace tremendamente invasivos: en todas partes aparecen: aunque
quisiéramos escoger un pedazo muy, muy chiquitito de la recta numérica, siempre
hay más de dos racionales allí y, dado que entre dos racionales siempre hay
otro racional, entonces ese pedazo tan chiquitito de la recta tiene siempre
infinito número de racionales. Con todo esto, se demuestra fácilmente, (de
veras, cualquier adolescente interesado lo puede entender) que el número total
de racionales es exactamente el mismo que el número de naturales, aunque los
naturales quedan sumergidos en los racionales y hay muchísimos racionales que
no son ni naturales ni enteros. Todos estos tres conjuntos tienen el mismo
cardinal: el Aleph Cero.
En forma
similar se puede demostrar que si se unen dos o más conjuntos de los cuales al
menos uno es infinito, cuyos elementos sean todos racionales, el conjunto
resultante sigue teniendo el mismo número de elementos que el conjunto de los
naturales: Aleph Cero.
5. Aparecen
luego otros números que no son racionales: los IRRACCIONALES, aquéllos que NO
se pueden escribir como cociente de dos enteros: (si a, b, son
enteros, siendo b diferente de cro, el quebrado a/b es un racional, es igual al
cociente de los enteros a y b. Si un
número que aparece en alguna operación es tal que no es posible encontrar dos
enteros como a, y b del ejemplo, tal número es IRRACIONAL). El conjunto formado por los
irracionales, al cual pertenecen, como
ejemplos entre otros, la raíz cuadrada de 2,
el número PI, el logaritmo decimal de 7,... etc, no contiene ningún racional, no seno es
posible encontrar ninguna forma de acomodar sus elementos para poderlos contar,
por tanto, evidentemente no se pueden poner en correspondencia biunívoca con
los naturales ni con los racionales, pero de hecho existen y muchos de ellos
resultan de operaciones posibles y sencillas como trazar la diagonal de un
cuadrado cuyo lado mide 1 y tratar de medirla exactamente con las mismas
unidades; como encontrar el resultado exacto de la división de la longitud de
una circunferencia por la longitud de su diámetro... etc. Cantor demostró que al unir los racionales
con los irracionales, resulta un conjunto cuyo cardinal es estrictamente mayor
que Aleph Cero. Es el conjunto de los números NÚMEROS REALES y su cardinal
es llamado "CONTINUO"
6. Al
intentar poner los reales en la recta numérica, oh, sorpresa!, (todavía lo siento así, y me asombro, como
cuando comenzaba mi carrera, aunque hayan pasado más de cincuenta años desde
entonces) ésta, la recta, el espacio geométrico inventado por el hombre por
otros motivos y necesidades, se llena totalmente, de forma que cada punto
corresponde a un número real, y cada número real tiene un único punto de la
recta para ubicarse. Entonces el cardinal de los reales es exactamente igual al
cardinal de los puntos de la recta: por eso se llama a este cardinal "EL
CONTINUO". Al llegar aquí
dejamos de pensar; es imposible imaginar esos infinitos, los cerebros más
talentosos en estos campos avanzan sin duda a niveles superiores de entendimiento
pero no lo hacen en facilidad de expresar esos más altos niveles y los demás,
terminamos aceptándolos y nuestra mente, con el tiempo, de alguna manera se
aproxima a la comprensión.
Sé que el
propio Cantor demostró que el cardinal de los enteros, al cual llamó Aleph
Cero, es estrictamente menor que el cardinal de los Reales, llamado
"continuo". Tanto el Aleph Cero como el continuo son
infinitos. La hipótesis formulada por Cantor dice textualmente: “no existen
conjuntos cuyo cardinal sea estrictamente mayor que el cardinal de los enteros
y estrictamente menor que el cardinal de los reales”. El resto es historia
que encuentras fácilmente.
7. En mis
palabras, que son rústicas, expresaré las consideraciones que me llevan desde
la definición del "continuo" y de las propiedades básicas del Aleph
Cero, a algo así como una lejana comprensión de los Absolutos: el de la Deidad , el Indeterminado y el Universal,
según aparecen descritos en el prólogo del Libro de Urantia.
En el Prólogo leemos:
14,4 El Absoluto de la Deidad es ese potencial que fue
disgregado de la realidad total e infinita, mediante la libertad de elección
del Padre Universal, y en el que tiene lugar toda la actividad -existencial y
vivencial- de la divinidad. Este es el Absoluto
Determinado en contraposición al Absoluto Indeterminado; pero el Absoluto
Universal se sobreañade a los dos englobando todo el potencial del absoluto.
Si
consideramos nuestra recta numérica como
la realidad total e infinita cuyo número de puntos es el “continuo”, podemos imaginar al Padre
Universal como el Origen único de tal realidad, separando de ella una parte,
igualmente infinita, para que en esa parte tuviera ubicación todo lo que en el
pasado, presente y futuro tiene relación existencial o vivencial con Él. A esa
parte de ese infinito 'continuo'
lo llamamos el Absoluto de Deidad, permaneciendo el resto como Absoluto
Indeterminado. Sin embargo, cuando el primer pensamiento del Padre en esa
insondable eternidad de eternidades se convirtió en el Hijo Eterno, surgió la
Isla del Paraíso, y concomitantemente, cuando Padre e Hijo unieron sus
pensamientos y el Espíritu Infinito hizo su aparición y se formó el universo
central perfecto. Ellos, los seres personales igualmente eternos, infinitos,
absolutos, llenaron el Absoluto de la Deidad, mientras que las obras externas,
La Isla de Paraíso y el Universo Central permanecieron en el Absoluto
Indeterminado. Esta situación creó una tensión entre los Absolutos, tensión que
fue resuelta por la acción del Absoluto Universal, que tendió un puente para
relacionar los otros dos absolutos, sin convertirlos en uno solo, sino
manteniéndolos claramente diferenciados: “pero el Absoluto
Universal se sobreañade a los dos englobando todo el potencial del absoluto”(14,4).
El concepto
de Absoluto encierra mucho más que nuestro concepto humano del infinito del “continuo”. Si en este infinito que está próximo a
nuestra comprensión sucede que cada segmento que contenga más de un punto de la
recta es tan infinito y tan continuo como la recta completa, y que si retiramos
uno, o mil, o más, de estos segmentos, la recta continúa siendo igualmente
infinita y continua, y si esto lo aceptamos, es claro que no tendremos ninguna
dificultad en aceptar que del Padre Infinito, Eterno, Absoluto, pueden desprenderse
miles, miríadas de fracciones igualmente eternas e infinitas que bajen a morar
en las mentes pequeñas y finitas de
nosotros, los seres personales más pequeños, criaturas volitivas,
dotadas de mente con potencial de espiritualidad.
................................................
Estas ideas fueron para mí
un motivo muy especial de ánimo y de fe. Ahora que las veo escritas veo su
limitación y me doy cuenta de que alguien mejor preparado en el tema
matemático, puede hacer una descripción mucho más clara y bella. Pero esto es
lo que yo puedo comunicar, y deseo hacerlo.
La autora
